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QUADRATI E DIAGONALI-
teoria e soluzioni pratiche
-3^ parte-
Abbiamo visto come l’applicazione del Teorema della Diagonale possa portare all’individuazione di formazioni caratteristiche destinate a produrre lusinghieri risultati. Ovvio, qui non si tratta né di una chiave magica e tantomeno del toccasana per le tasche di chi gioca, ma solo di un modello che, se applicato correttamente, può guidare il giocatore nella scelta di elementi logicamente probabili.
Finora abbiamo impostato le cose per modo che il teorema trovi applicazione su formazioni complete solo per ¾, cioè "monche" di un elemento, per modo da calcolarne un quarto che si innesti armonicamente nel costrutto parziale base. Ovviamente è su questo numero che ruota praticamente il gioco. Ma avanziamo un’ipotesi:
se disponessimo di soli due numeri e non di tre, sarebbe possibile ugualmente costruire un "quadrato" che rispetti l’enunciato del teorema?
A certe condizioni e adottando qualche semplice accorgimento, ciò è possibile.
Prendiamo ad esempio il seguente "quadrato":
Come potete facilmente notare, abbiamo ipotizzato due numeri noti* e due incogniti. Come facciamo a calcolare il valore da assegnare alle incognite? Arriviamoci con logica.
* NOTA: i numeri noti NON devono essere entrambi pari o entrambi dispari
Dunque, sappiamo che il teorema afferma che la somma delle somme del quadrato addizionata alla misura di una delle due diagonali deve dare come risultato 45. Cos’è la somma delle somme? Come gli appassionati di Ciclometria sanno, essa non è altro che la somma dei quattro componenti del quadrato. Nel nostro esempio quindi la somma delle somme (la abbreviamo con "SdS") è:
SdS = x + 84 + y + 35; è SdS = x + y + 29;
Al valore della "SdS" dobbiamo aggiungere il valore di una delle due diagonali ed eguagliare il tutto a 45. Il primo problema starebbe quindi nell’assegnare un certo valore alla diagonale da inserire nell’equazione. Trattasi di un finto problema, giacché il nostro intento è quello di ottenere un "quadrato" ciclometrico, il quale, come tutti sapete, ha le diagonali di eguale misura. E’ chiaro allora che il valore della diagonale ce l’abbiamo già, ed è quello che corrisponde alla distanza tra i due numeri noti (ecco perché i due numeri noti li abbiamo inseriti in diagonale!). L’equazione quindi diventa la seguente:
x + y + 29 + 41 = 45; è x + y = 45 – 29 – 41; è x + y = –25 = 65 (cioè –25 + 90).
Dove la misura della diagonale è 41. Siamo a questo punto nelle piene condizioni di poterci ricavare le due incognite, sfruttando un teorema algebrico molto usato dallo stesso Fabarri. Conosciamo la somma che devono avere le due incognite (l’abbiamo appena calcolata, ed è 65). La differenza la possediamo fin dall’inizio (ricordate sempre la nota di poc’anzi: abbiamo a che fare con un quadrato ciclometrico, le cui diagonali sono quindi uguali tra loro), ed è 41. Risalire alla coppia di incognite, conoscendone i valori di somma e differenza è un gioco da ragazzi:
1° numero: si addiziona la somma alla differenza e il totale si divide per 2;
2° numero: si sottrae dal valore di somma il valore del 1° numero.
Vediamo:
1° numero:
2° numero: 65 – 53 = 12;
Ecco che siamo risaliti all’intero quadrato:
Abbiamo comunque un altro quadrato, simile a quello calcolato, che dobbiamo matematicamente considerare, ed è quello che si forma con i diametrali delle due incognite calcolate:
In parentesi abbiamo indicato le distanze dei lati comuni e della diagonale. Notate come:
12 + 35 + 53 + 84 + 41 = 45; è 8 + 35 + 57 + 84 + 41 = 45;
La somma delle somme addizionata alla misura della diagonale dà un totale di 45. Ci eravamo prefissi lo scopo di arrivare a costruire un quadrato ciclometrico che rispettasse il Teorema della Diagonale di Manna partendo da due soli numeri? Con l’uso di un pizzico di logica e di qualche semplice calcoletto ci siamo arrivati.
Come possiamo applicare praticamente questa nuova scoperta? Non mancate di visitare questa sezione del sito prossimamente…
Antonio Fiacco
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