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| dal sito ciclometria.it
-I NUMERI PERFETTI-
Euclide, nei suoi Elementi, dà la seguente definizione di numero perfetto:
Si dice perfetto ogni numero uguale alla somma dei suoi divisori
Dalla somma si esclude il numero stesso. Se ad esempio prendiamo il numero 6, i suoi divisori (escluso se stesso) sono: 1, 2, 3. La loro somma, come si può facilmente stabilire, è 6; quindi 6 è un numero perfetto. In particolare esso è il primo dei numeri perfetti. Per incontrare il secondo numero con questa caratteristica dobbiamo arrivare a 28. Infatti i divisori di 28 sono 1, 2, 4, 7, 14, la cui somma evidentemente fa 28. Per il successivo numero bisogna arrivare a 496 e per trovarne ancora un altro a 8128. Insomma mano a mano che si và avanti i numeri con questa particolare caratteristica si incontrano sempre più di rado. Quanti sono i numeri perfetti? Nessuno lo sa, e come per i numeri primi o come i decimali di pi greco ed altri, ogni anno centinaia di ricercatori (è proprio il caso di definirli così!) trovano qualche "mostruosità" numerica che supera quella precedente.
Abbiamo accennato ai numeri primi, quei numeri cioè che risultano essere divisibili solo per 1 e per se stessi. Ebbene, i numeri perfetti godono di una particolare "simpatia" per i numeri primi. La "parentela" è tanto stretta al punto che ogni qualvolta si trova un nuovo numero primo esprimibile nella forma 2n+1-1 si può dire di aver trovato un nuovo numero perfetto, che sarà 2n · (2n+1-1). La cosa si complica, perché i numeri primi non si sa se siano infiniti, e quindi non si può neanche stabilire una quantità per i numeri perfetti. Tra l’altro, come abbiamo visto per i più "piccoli" (solo 5 numeri sono perfetti tra i primi 33550336 numeri naturali!), la crescita delle cifre è quasi esponenziale, e a certi livelli diventa impossibile volerli trovare a mano. Ovviamente i moderni calcolatori hanno dato una mano ai cacciatori di numeri con determinate proprietà, ma ciò non toglie che anche i calcolatori li trovino con difficoltà. Quello che segue è l’elenco dei primi 10 numeri perfetti. Dopo averci dato un’occhiata, provate ad andare su http://mathforum.org/dr.math/problems/perfect.html dove troverete l’elenco dei primi 30:
6
28
496
8128
33550336
8589869056
137438691328
2305843008139952128
2658455991569831744654692615953842176
191561942608236107294793378084303638130997321548169216
Il 10° numero è formato da ben 54 cifre. Impressionati? Allora pensate che l’11° numero perfetto è composto da 65 cifre, il 12° da 77 e il 13° dalla bellezza di 279 cifre!
Più di una volta ci siamo occupati sulle pagine delle riviste cui abbiamo collaborato di sequenze di numeri che avessero una qualche particolarità (memorabile rimane una serie di articoli sui numeri di Fibonacci). Infatti l’aritmetica modulare cui la numerazione del Lotto (come quella della Roulette etc.) si rifà, permette delle fantastiche scoperte. Così è stato anche per i numeri perfetti. Possiamo dire con un ampio margine di sicurezza che per quanto il numero perfetto "naturale" possa essere composto da molte cifre, la presenza dei primi 3 numeri si reitera. E’ ovvio che il 3° numero perfetto 496 in modulo 90 corrisponda al 46. In base a quanto suddetto congetturiamo quindi che in modulo 90 gli unici numeri perfetti risultano essere 6, 28 e 46.
Una verifica sommaria la si può avere usando la calcolatrice di Windows effettuando la riduzione in modulo 90 (il tasto per l’operazione è "MOD") dei numeri perfetti che abbiamo elencato. Qualcuno obietterà che la calcolatrice contiene un massimo di 32 cifre. Niente paura, basta che con il copia e incolla ("ctrl+c" per il copia e "ctrl+v" per incolla) frazionate il numero in più parti. Vediamo come effettuare la riduzione del 10° numero, che è composto da 54 cifre. Notiamo che 54 è divisibile per 3 (54/3 = 18). Copiamo con il ctrl+c le prime 18 cifre del numero, le seguenti:
191561942608236107
Apriamo la calcolatrice scientifica e incolliamo le 18 cifre sul display con il ctrl+v. A questo punto premiamo il tasto MOD e successivamente il 9, quindi il segno di uguale. Il risultato sarà 8. Scriviamo questo numero su un foglietto e rifacciamo l’operazione con le successive 18 cifre del numero perfetto considerato:
294793378084303638
Il risultato della riduzione modulo 9 in questo caso sarà 6. Scriviamo il 6 alla destra dell’8 di prima. L’ultima serie di cifre la riduciamo in modulo 9 tranne l’ultima. Si dovranno copiare quindi le prime 17 cifre dell’ultima stringa di 18:
13099732154816921 (6)
Abbiamo indicato in parentesi l’ultima cifra per evidenziare che essa NON dovrà essere incollata. La riduzione in modulo 9 interesserà quindi solo la serie:
13099732154816921
Il risultato in questo caso è 8. Questo numero si scrive a fianco dell’8 e del 6 scritti in precedenza. Le 3 cifre daranno quindi il numero 868, cui aggiungiamo l’ultima cifra del numero perfetto (il 6). Otteniamo quindi il seguente numero:
8686
A questo punto chiunque è in grado di verificare che 8686 in modulo 90 corrisponde a 46.
E’ ovvio che il numero iniziale può essere frazionato in diverse quantità di cifre (noi abbiamo indicato per comodità la divisione per 3 del numero delle cifre, ma avremmo potuto prendere le prime 32 cifre e poi le ultime 21, il risultato non sarebbe cambiato). L’importante è che non si superino le 32, altrimenti la calcolatrice non le conterrà tutte.
Con questo metodo potrete facilmente verificare che la sequenza dei primi dieci numeri perfetti, ridotti in modulo 90, è:
6-28-46-28-46-46-28-28-46-46
Come possiamo utilizzare i numeri perfetti per vincere al Lotto? Seguiteci
Antonio FIACCO
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